Příručka pro tuneláře

A protože jde o zapeklitý problém, zabere nám jeho řešení několik podkapitol:

Co je vzdálenost?

Samozřejmě, pokud se někoho na ulici zeptáte, jak daleko je odsud Times Square a zrovna si nepoklepe na čelo, tak vytáhne mapu a pravítko, změří, a řekne: „8500km!“. „Omyl, “ řeknete vy, „rovná čára na mapě není nejkratší vzdálenost“ (pokud teda ty dvě místa neleží na rovníku, nebo to není nějaká zvrhlá mapa).

Mapa má typicky nevýhodu takovou, že se snaží kulatou věc jako zeměkoule, nacpat na placatou věc jako je papír, což dost dobře nejde, proto nám nefunguje naše pravítková metoda. Hezky je to vidět treba na Google Maps. Když si dostatečne odzoomujete, tak uvidíte, že Grónsko je zhruba stejně velké jako celá Jižní Amerika a podobné zvrhlosti. Zároveň jde také pozorovat, že když si posunete pohled na sever nebo na jih, tak vám chytré Google Maps samy upraví měřítko mapy (vlevo dole) tak, aby pořád ukazovalo relativně rozumnou vzdálenost. Není tedy problém i na nejzvdálenějším zoomu donutit měřítko aby ukazovalo třeba jen 1 metr :)

Tak dobrá, pokus druhý. Nejkratší vzdálenost k Times Square by mohla být třeba taková, že tady u nás sednu do letadla, otočím se do jednoho směru a poletím furt dopředu. Pokud dorazím na Times Square aniž bych musel dál zatáčet, zřejmě jsem si vybral nejkratší možnou cestu (pokud jsem zrovna omylem neletěl na druhou stranu, a neobletěl druhou půlku zeměkoule :) ). Když zakreslím trajektorii po které jsem letěl do mapy, dostanu takovou divně křivou čáru (celou cestu, přestože jsem letěl pořád rovně, jsem neletěl pořád stejným kurzem (chcete-li, na stejnou světovou stranu, to by byla ta předchozí trajektorie)). Takové čáře se říka ortodroma.

Jestli jste někdy viděli obrázek z nějakého centra řízení kosmických letů, tak tam mají vždycky na přední stěně promítnutou takovou obrovskou mapu světa, na které je nakreslena sinusovka (tady nebo tady). Teď už víme, co je ta sinusovka zač. Je to ve skutečnosti ortodroma která ukazuje, kudy létá družice/raketa­/kosmická stanice kolem světa. A je to pochopitelně ta nejkratší rovná cesta kolem světa. U kosmických lodí je to ještě fikanější, neboť jak je známo, ve vesmíru není moc vzduchu, takže ony si jen tak vesele krouží, ale země se pod nimi otáčí. Z pohledu mapy na stěně vesmírného střediska je svět furt na stejném místě, a posouvá se nad ním ta sinusovka. Proto taky kosmické lodě kroužící kolem země neprolétávají pořád nad stejnými místy.

Takže, obohaceni znalostí ortodrom, vygooglíte nějaké počítadlo, které tyhle vzdálenosti počítá (nebo použijete vzoreček ze té stránky na wikipedii), opíšete výsledek a ukážete mi jej. „Omyl“ řeknu já, „koho tady zajímá nějaká země?“. Ortordomální vzdálenost je možná užitečná z praktického hlediska, ale koho to zajímá :) Chci vědět nejkratší vzdálenost přímou, bez ohledu na nějaký vtíravý zemský povrch. Když budu chtít do Austrálie, tak je pro mě daleko kratší si prokopat tunel, než se trmácet daleko delší cestou po povrchu.

Na tomhle místě si ti matematičtěji založení odskočí pro papír, spočítají délku tětivy kružnice a mají přibližně správný výsledek, ale já jsem náročnější. Zaprvé, země není koule. Zadruhé, když do toho počítadla typicky zadáte nějakou vzdálenost, zadáte tam něco jako Z: Praha, Do:New York. Jenže každý ví, že Praha je celkem dost široký pojem (přesněji víc než 20km široký), už nemluvě o New Yorku. Nebylo by ale daleko romantičtější vědět, jak přesně daleko je tenhle Můj Stůl(*) u kterého sedím, přesně od Tohohle Semaforu?

Obrázek 1 : Klik pro větší.

Ti kdo si myslí, že nebylo, ať jdou pryč :) My ostatní (já? :) ) si ve zbylém čase ukážeme, jak na to přijít :) Ba co víc, ukážeme si dokonce jak zjistit na jakou přesně stranu kopat ten tunel, budeme-li se chtít k Times Square po nejkratší dráze dohrabat. Inu, k dílu!

(*) Poznámka pod čarou: původně i zde měla být pro větší názornost fotka mého stolu, leč nepodařilo se mi najít žádnou reprezentativní, přesněji takovou, kde by ho byla vidět nějaká relevantní část :) Věčně se totiž schovává pod nánosy všemožného bordelu, a když jsem jednou měl uklizeno, tak mě nenapadlo si stůl fotit ;)

Souřadnice

Takže, abychom vůbec nějakou vzdálenost mohli počítat, musíme přesně zjistit, kde ten stůl a semafor přesně jsou a pak z toho nějak vykoumat vzájemnou vzdálenost. Typicky se poloha objektu na zemském povrchu udává pomocí zeměpisných souřadnic (šířky a výšky) a výšky nad hladinou moře. Pokud však uvidíte souřadnice stolu a semaforu, tak na první pohled jistě nevidíte, jaká je mezi těmi místy vzdálenost a nevidíte to ani na druhý pohled.

Zeměpisné souřadnice jsou věc podivná, jsou to něco jako sférické souřadnice, ale ne zas tak úplně, a vůbec, všechno je to na zeměkouli a jak jsme si ukázali na příkladu s přímkou na mapě, kulaté věci jsou nevyzpytatelné zlo. Vzdálenost by se nám měřila daleko lépe, kdybychom si ty naše souřadnice převedli na nějaké jiné, z kterých by to už na první pohled vidět bylo. Takové souřadnice jsou pravoúhlé kartézské.

Když někomu řeknete, ať nakreslí graf něčeho, tak první co udělá je, že nakreslí dvě kolmé přímky, „osu X“ a „osu Y“. Když potom někam nakreslíme nějaký bod, tak umíme odečíst jeho souřadnice na jednotlivých osách. Když se navíc zeptáme, jaká je vzdálenost toho bodu, od počátku, tak si učenější na Pythagorovu větu, spočítají, a je to. No a zajímavé je, že to funguje nejen na placatých věcech jako je papír, ale třeba i v našem prostoru. Zadají se tři navzájem kolmé osy, udá se poloha bodu vůči těmhle osám, a použije se „trojrozměrná“ verze Pythagorovy věty:

Obrázek 2 : Klik pro větší.

Našli jsme tedy souřadnice, do kterých bychom rádi polohy mého stolu a semaforu převedli. Spočítat pak vzdálenost bude hračka. Ještě jednu věc ale potřebujem, a sice rozhodnout, kde bude sedět počátek souřadnic, musíme nějak svévolně určit místo, které bude mít souřadnice [0;0;0], a musíme říct, v jakých směrech odtud vycházejí ty tři osy. Jak se záhy ukáže, je nejlepší si ho zvolit ve středu (přesněji těžišti) země. Úkol je tedy jasný. Najít pro můj stůl a semafor na Times Square vždy trojici hodnot = souřadnice, která určuje v jaké poloze jsou vůči středu země, tedy návod pro cvičenou opici, jak ze zeměpisných souřadnic nějakého místa na zemi, udělat ty pravoúhlé.

Earth Centered Earth Fixed

Je asi jasné, že nejsme první, koho napadlo zavést souřadnicový systém s počátkem ve středu země. Chytří lidé to již udělali za nás, a nazvali ho ECEF, rozzkratkování viz nadpis :) Přesnější popis viz obrázek:

Obrázek 3 : Klik pro větší.

Jak již tedy bylo omíláno, počátek je ve středu země, osa Z z něj jde „nahoru“ a vystupuje severním pólem. Osa X je na ni kolmá a jde ve směru nultého poledníku, vystupuje ze země tedy někde v Atlantském oceánu kus od pobřeží afriky. Osa Y už nemá jinak na vybranou, než jít kolmo na zbylé dvě, což ji předurčuje k propíchnutí země někde v Indickém oceánu kousek od Indie. Ty osy tam ale fakt jsou! Do osy Z je například na severním pólu zapíchnutá vlajka!

Teď už je vše jednoznačné a můžeme převádět. To není úplně triviální, protože jak známo země není dokonale kulatá, je ve směru otáčení trochu sploštělá. Chytří lidé v minulosti si teda řekli, že její tvar odhadnou rotačním elipsoidem (čti:koule kterou někdo trochu zmáčknul). Patlat se tu s elipsoidálními souřadnicemi a parametrizací nemusíme. Nahodíme si google, a po chvíli máme vygoogleno. Jsou tam přesně vzorečky, které potřebujeme. Ještě je důležité vědět, že těch elipsoidů, kterými se dá odhadovat země, je celkem dost, jeden je třeba o pár metrů širší, jiný zas o pár metrů placatější a podobně. My budeme používat WGS84 elipsoid, protože je nejmezinárodnější a používají ho věci jako GPS.

Vítězství! :)

Ne tak docela, no :) To, co se dosazuje do vzorečku jako „výška“, není výška jak ji známe. Je to právě výška od povrchu toho elipsoidu, ukazují ji například hloupější GPS přijimače. U nás se výška udává jako výška od hladiny moře, a to je něco trochu jiného. Stejně tak jako země není dokonalá koule, není to ani dokonalý elipsoid. Ještě lepší odhad tvaru země je něco čemu se říká geoid (mírně hrbolatá koule, trochu přehnaný obrázek. zase ne uplně přesně, pač z tý země všudemožně rostou hory, a podobné věci, takže se to zase kazí).

Geoid se získává důkladným proměřováním gravitačního pole a funguje tak že kde je moře, tam je povrch geoidu shodný s hladinou moře, ve skutečnosti i hladiny moře mají svoje kopce a údolí, akorát rozlezlé po velkých oblastech, a ne moc vysoké (nejvíc tak 100m). Tam kde není moře, tam je geoid zjednodušeně ve výšce, kde by hladina moře byla, kdyby tam to moře bylo. Pokud teda víte nadmořskou výšku něčeho, víte výšku od povrchu geoidu, tj. imaginární hladiny moře v tom místě. Přepočet na výšku
nad elipsoidem je pak jednoduchý.

1. Zjistíme si nadmořskou výšku té věci. Pokud je to v ČR a prahneme po přesnosti, pomůže nám třeba databáze nivelačních bodů. Jinak se hodí třeba turistické mapy, Google Earth, a podobné věci.
2. Zjistíme si rozdíl výšek geoidu a elipsoidu v tom místě. Dají se na to vygooglit mapy, ale nejlepší je asi tahle kalkulačka (mimochodem ne uplně jednoduchá na vygooglení, tak si jí koukejte vážit :) ), po zadání souřadnic a nulové výšky, jde odečíst výška geoidu. Pro ČR je geoid zhruba o 45 metrů výš, než elipsoid. Pro New York je geoid naopak 33 metru pod elipsoidem.
3. Tyhle výšky k sobě přičteme. Tedy výška nad elipsoidem pro ČR, je zhruba o 45 metrů víc než nadmořská výška. v New Yorku o 33 metrů méně.

Obrázek 4 : Klik pro větší.

Tohle byla asi nejtrikovější část celé anabáze. Vložili jsme teda přesné zeměpisné souřadnice do vzorečku, a vypadly nám z něj pravoúhlé ECEF souřadnice. Co teď dál? Jednoduše tu druhou (Semafor na Times Square) odečteme od první (Můj Stůl) složku po složce. Máme tedy:

Obrázek 5 : Klik pro větší.

Dostali jsme tak vektor od mého stolu na Times Square, aneb něco co když přičteme k souřadnicím mojeho stolu, tak vyjdou ty Times Square. Vzdálenost mezi Mým Stolem a Times Square je už jen délka toho vektoru „C“, a tu umíme hravě spočítat právě tou 3D Pythagorovou větou. Výsledek je:

6 302 716 m

Ach! Teď zamáčkněme slzu dojetí a vrhněme se k poslednímu úkolu :)

Kudy kopat tunel?

aneb transformace do Lokální Tečné Roviny

Jsme ve stejné situaci jako o kus výš. Máme vektor-spojnici mezi stolem a semaforem vyjádřenou v nějakých souřadnicích, ale nevíme si rady s tím, jak z toho vykoukat, kudy kopat tunel. Víme přesně, kam míří ten spojnicový vektor z pohledu středu země, který je stejný jako pohled severního pólu. Souřadnice X je tam to samé co směr na jih ve směru nultého poledníku, souřadnice Y jako ve směru devadesátého poledníku, a souřadnice Z nahoru. Když však stojíme v Praze u Mého Stolu, jsou tyhle směry oproti severnímu pólu stočené, a věci se z nich vykoukávají špatně. Přirozené směry jsou „nahoru“, „na sever“ a „na východ“ (případně jiné zeměpisné směry, ale my z praktických důvodů volíme tyhle).

Abychom dostali vektor-spojnici v řeči těhle směrů, stačí ho prostě jen otočit! To co na severním pólu míří kolmo nahoru, u nás v praze míří šikmo nahoru na sever, pod úhlem přibližně 50 stupňů, což je ale přesně zeměpisná šířka Prahy! :) (pod tímhle úhlem je vidět například Polárka). Podobné věci platí i pro jiná natočení a zeměpisnou délku. Stačí teda vektor „viděný z pólu“ natočit podle vlastní zeměpisné šířky a délky, a dostaneme ho tak, jak ho vidíme my. K tomuhle se použijí operace rotace, které se dají reprezentovat pomocí matic, ale to si každý matfyzák najde (tady) nebo vymyslí sám a všichni ostatní technické detaily nechtějí vědet. Je to jen další sada vzorečků, které vezmou jedny čísla souřadnic, a vyklopí nám podle nich nějaké jiné :)

Obrázek 6 : Klik pro větší.

Teď už jen abychom mohli začít s kopáním, tak potřebujeme vědět poslední dvě věci: azimut a výšku. Azimut znamená, kterým zeměpisným směrem kopat, jestli na sever, na východ, severovýchod a podobně. Výšku proto, abychom věděli, jak moc pod povrch máme jít. Když se budem chtít prokopat do Austrálie, tak musíme skoro kolmo dolů, když do Brna, tak stačí míň než jeden stupeň pod zem. Potom co jsme zrotovali náš vektor-spojnici, víme přesně jak moc míří na sever, jak moc na východ, a jak moc nahoru. Zavoláme si proto na pomoc strýčka Arkustangense, a on nám to rád spočítá :)

Obrázek 7.1 :

Obrázek 7.2 : Klik pro větší.

Po dopočítání máme i informaci pro tuneláře, od Mého Stolu k Times Square je to:

Azimut = 298 °

Výška = –30 °

Tunel je tedy třeba kopat pod úhlem 30 stupňu pod zem, mírně na severozápad. Což jako není úplně nepřekvapivé, protože když se třeba podíváte na mapu, zjistíte, že New York je jižněji než Praha a vypadá to, jako by bylo třeba kopat mírně na jihozápad (tedy azimut menší než 270, juk na obrázek!). Zakřivení země ale způsobí, že tomu tak není! :)

A to už je opravdu všechno :) Těm kteří to dočetli až jsem, děkuji za pozornost a doufám že to aspoň někoho zaujalo. Komentáře vítám :)